某企业生产A、B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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某企业生产A、B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：
已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业生产A、B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？

产品品种	劳动力（个）	煤（吨）	电（千瓦）
A产品	3	9	4
B产品	10	4	5

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如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中, $A P ⊥$ 平面 $P C D$ , $A D ∥ B C$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} A D$ , $E, F$ 分别为线段 $A D, P C$ 的中点.

（1）求证： $A P ∥$ 平面 $B E F$ ;
（2）求证： $B E ⊥$ 平面 $P A C$ .

题型：未知
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$△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = 3$ ， $\cos A = \frac{\sqrt{6}}{3}$ , $B = A + \frac{π}{2}$ ,
（1）求 $b$ 的值；
（2）求 $△ A B C$ 的面积.

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海关对同时从三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件进行检测

地区
数量	50	150	100

（1）求这6件样品中来自各地区商品的数量；
（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.

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将连续正整数 $1, 2, \dots, n (n \in N^{*})$ 从小到大排列构成一个数 $123 \dots n$ ， $F (n)$ 为这个数的位数（如 $n = 12$ 时，此数为，共有15个数字， $f (12) = 15$ ），现从这个数中随机取一个数字， $p (n)$ 为恰好取到0的概率.
（1）求 $p (100)$ ；
（2）当 $n \leq 2014$ 时，求 $F (n)$ 的表达式；
（3）令 $g (n)$ 为这个数中数字0的个数， $f (n)$ 为这个数中数字9的个数， $h (n) = f (n) - g (n)$ ， $S = \{n h (n) = 1, n \leq 100, n \in N^{*}\}$ ，求当 $n \in S$ ,时 $p (n)$ 的最大值.

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如图，已知抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ ，过点 $M (0, 2)$ 任作一直线与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，过点 $B$ 作 $y$ 轴的平行线与直线 $A O$ 相交于点 $D$ （ $O$ 为坐标原点）.

(1)证明：动点 $D$ 在定直线上；
(2)作 $C$ 的任意一条切线 $l$ （不含 $x$ 轴）与直线 $y = 2$ 相交于点 $N_{1}$ ，与（1）中的定直线相交于点 $N_{2}$ ，证明： ${|M N_{2}|}^{2} - {|M N_{1}|}^{2}$ 为定值，并求此定值.

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