（本小题满分12分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥P—ABC

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题满分12分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥P—ABCD中，，平面ABCD，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1。
（1）求证：平面PAB；
（2）求面PCD与面PAB所成锐二面角的正切值；
（3）在PC上是否存在一点E，使得DE//平面PAB？若存在，请找出；若不存在，说明理由。

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设函数 $f (x) = \{\begin{cases} \frac{1}{a} x, 0 \leq x \leq a \\ \frac{1}{1 - a} (1 - x), a < x \leq 1 \end{cases}$ . $a$ 为常数且 $a \in (0, 1)$ .

（1）当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求 $f (f (\frac{1}{3}))$ ；
（2）若 $x_{0}$ 满足 $f (f (x_{0})) = x_{0}$ ，但 $f (x) \neq 0$ ，则称 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的二阶周期点.证明函数 $f (x)$ 有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点 $x_{1}, x_{2}$ ；
（3）对于（2）中的 $x_{1}, x_{2}$ ，设 $A (x_{1}, f (f (x_{1}))), B (x_{2}, f (f (x_{2}))), C (a^{2}, 0)$ ，记 $△ A B C$ 的面积为 $S (a)$ ，求 $S (a)$ 在区间 $[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$ 上的最大值和最小值。

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椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}, a + b = 3$ .

（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）如图， $A, B, D$ 是椭圆 $C$ 的顶点， $P$ 是椭圆 $C$ 上除顶点外的任意一点，直线 $D P$ 交 $x$ 轴于点 $N$ ，直线 $A D$ 交 $B P$ 于点 $M$ .设 $B P$ 的斜率为 $k$ ， $M N$ 的斜率为 $m$ .证明： $2 m - k$ 为定值.

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如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B = 2$ ， $A D = \sqrt{2}$ ， $A A_{1} = 3$ ， $E$ 为 $C D$ 上一点， $D E = 1$ ， $E C = 3$

（1）证明： $B E ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；
（2）求点 $B_{1}$ 到平面 $E A_{1} C_{1}$ 的距离。

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小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋。游戏规则为：以 $O$ 为起点，再从 $A_{1} ， A_{2} ， A_{3} ， A_{4} ， A_{5} ， A_{6}$ （如图）这六个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为 $X$ ，若 $X > 0$ 就去打球，若 $X = 0$ 就去唱歌，若 $X < 0$ 就去下棋。
（1）写出数量积 $X$ 的所有可能值；
（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率。

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在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，已知 $\sin A \sin B + \sin B \sin C + 2 \cos 2 B = 1$ .

（1）求证： $a, b, c$ 成等差数列；

（2）若 $C = \frac{2}{3} π$ ，求 $\frac{a}{b}$ 的值.

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