(本题满分12分）在平面直角坐标系中，抛物线交
轴于
两点，交
轴于点
，已知抛物线的对称轴为
．
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⑴求这个抛物线的解析式；
⑵在抛物线的对称轴上是否存在一点
，使点到A、C两点间的距离之和最大．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如果在
轴上方平行于轴的一条直线交抛物线于
两点，以
为直径作圆恰好与轴相切，求此圆的直径．
某商店决定购进A、B两种纪念品.若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元.
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑到市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且不超过B种纪念品数量的8倍，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件 B 种纪念品可获利润30元，在（2）的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
如图① ，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90ｏ，AD⊥BC，垂足为D.
（1）S△ABD =.(直接写出结果)
（2）如图②，将△ABD绕点D按顺时针方向旋转得到△A′B′D，设旋转角为
(
)，在旋转过程中：
探究一：四边形APDQ的面积是否随旋转而变化？说明理由
探究二：当的度数为多少时，四边形APDQ是正方形？说明理由.
小明同学看到路边上有人设摊玩“有奖掷币”游戏，规则是：交2元钱可以玩一次掷硬币游戏，每次同时掷两枚硬币，如果出现两枚硬币正面朝上，奖金5元；如果是其它情况，则没有奖金（每枚硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况）．小明拿不定主意究竟是玩还是不玩，请同学们帮帮忙！
（1）请用列表或画树形图的方法求出中奖的概率；
（2） 如果有100人，每人玩一次这种游戏，大约有人中奖，奖金共约是元；设摊者约获利元；
（3） 通过以上“有奖”游戏，你从中可得到什么启示？
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