（本小题满分12分）一个四棱锥PABCD的正视图是边长为2的_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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（本小题满分12分）
一个四棱锥P-ABCD的正视图是边长为2的正方形及其一条对角线，侧视图和俯视图全全等的等腰直角三角形，直角边长为2，直观图如图．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积：
（2）求直线PC和面PAB所成线面角的余弦值；
（3）M为棱PB上的一点，当PM长为何值时，CM⊥PA?

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$S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $a_{n} = 1 ， S_{7} = 28 .$ 记 $b_{n} = [\lg a_{n}]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，如 $[0.9] =0 ， [\lg 99] =1$ .

（1）求 $b_{1} ， b_{11} ， b_{101}$ ；

（2）求数列 ${b_{n}}$ 的前1 000项和.

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设函数 $f (x) = {（ x - 1 ）}^{3} - ax - b, x \in R$ ，其中 $a, b \in R$ 。

（1）求 $f (x)$ 的单调区间；

（2）若 $f (x)$ 存在极点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{0})$ ，其中 $x_{1} \neq x_{0}$ ，求证： $x_{1} + 2_{x 0} = 3$ ；

（3）设 $a ＞ 0$ ,函数 $g (x) = ∣ f (x) ∣$ ,求证： $g (x)$ 在区间 $[0, 2]$ 上的最大值不小于 $\frac{1}{4}$ .

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设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{3} 1 （ a ＞ \sqrt{3} ）$ 的右焦点为F，右顶点为A，已知 $\frac{1}{| OF |} + \frac{1}{| OA |} = \frac{3 e}{| FA |}$ ，其中O为原点，e为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在 $x$ 轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若 $BF ⊥ HF$ ，且 $∠ MOA = ∠ MAO$ ，求直线 $l$ 的斜率．

题型：未知
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已知 ${a_{n}}$ 是各项均为整数得等差数列，公差为d，对任意的 $n \in N^{*}$ ， $b_{n}$ 是 $a_{n}$ 和 $a_{n + 1}$ 得等比中项。

（1）设 $c_{n} = {b_{n + 1}}^{2} - {b_{n}}^{2}$ ， $n \in N^{*}$ ，求证：数列 ${c_{n}}$ 是等差数列；

（2）设 $a_{1} = d$ ， $T_{n} = \sum_{k = 1}^{2 n} {(- 1)}^{k} {b_{k}}^{2}$ ， $n \in N^{*}$ ，求证： $\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{T i} < \frac{1}{{2 d}^{2}}$

题型：未知
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如图，正方形 $ABCD$ 的中心为 $O$ ，四边形 $OBEF$ 为矩形，平面 $OBEF ⊥$ 平面 $ABCD$ ，点 $G$ 为 $A B$ 的中点， $AB = BE = 2 .$

（1）求证： $EG ∥$ 平面 $ADF$ ；

（2）求二面角 $O - EF - C$ 的正弦值；

（3）设 H为线段 $AF$ 上的点，且 $AH = \frac{2}{3} HF$ ，求直线 $BH$ 和平面 $CEF$ 所成角的正弦值.

题型：未知
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