(本题18分,第(1)小题4分;第(2)小题6分;第(3)小题8分)如图,已知椭圆:过点,上、下焦点分别为、,向量.直线与椭圆交于两点,线段中点为.(1)求椭圆的方程;(2)求直线的方程;(3)记椭圆在直线下方的部分与线段所围成的平面区域(含边界)为,若曲线与区域有公共点,试求的最小值.
已知函数 f(x)=ex,x∈R . (1)求 f(x) 的反函数的图象上图象上,点(1,0)处的切线方程; (2)证明: 曲线 y=f(x) 与曲线 y= 1 2 x2+x+1 有唯一公共点. (3)设 a<b , 比较 f( a + b 2 ) 与 f ( b ) - f ( a ) b - a 的大小, 并说明理由.
已知动点 M x , y 到直线 l : x = 4 的距离是它到点 N 1 , 0 的距离的2倍. (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (2)过点 P 0 , 3 的直线 m 与轨迹 C 交于 A , B 两点.若 A 是 P B 的中点,求直线 m 的斜率.
有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组, 各组的人数如下:
(1)为了调查评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表.
(2)在(1)中, 若A, B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手, 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率.
如图,四棱柱 A B C D - A 1 B 1 C 1 D 1 的底面 A B C D 是正方形, O 为底面中心, A 1 O ⊥ 平面 A B C D , A B = A A 1 = 2 . (1)证明: A 1 B D / / 平面 C D 1 B 1 ; (2)求三棱柱 A B D - A 1 B 1 D 1 的体积.
设 S n 表示数列 a n 的前 n 项和. (1)若 a n 为等差数列,推导 S n 的计算公式; (2)若 a 1 =1,q≠0 ,且对所有正整数 n ,有 S n = 1 - qn 1 - q .判断 a n 是否为等比数列.