已知:如图,⊙O为的外接圆,为⊙O的直径,作射线,使得平分,过点作于点.(1)求证:为⊙O的切线;(2)若,,求⊙O的半径.
如图1,在平面直角坐标系内,已知点,,,,记线段为,线段为,点是坐标系内一点.给出如下定义:若存在过点的直线l与,都有公共点,则称点是联络点.例如,点是联络点.(1)以下各点中,__________________是联络点(填出所有正确的序号);①;②;③.(2)直接在图1中画出所有联络点所组成的区域,用阴影部分表示;(3)已知点M在y轴上,以M为圆心,r为半径画圆,⊙M上只有一个点为联络点,①若,求点M的纵坐标;②求r的取值范围.
如图1,在中,AB=AC,∠ABC =,D是BC边上一点,以AD为边作,使AE=AD,+=180°.(1)直接写出∠ADE的度数(用含的式子表示);(2)以AB,AE为边作平行四边形ABFE,①如图2,若点F恰好落在DE上,求证:BD=CD;②如图3,若点F恰好落在BC上,求证:BD=CF.
在平面直角坐标系xOy中,抛物线与轴交于点A(0,3),与轴交于点B,C(点B在点C左侧).(1)求该抛物线的表达式及点B,C的坐标;(2)抛物线的对称轴与轴交于点D,若直线经过点D和点E,求直线DE的表达式;(3)在(2)的条件下,已知点P(,0),过点P作垂直于轴的直线交抛物线于点M,交直线DE于点N,若点M和点N中至少有一个点在轴下方,直接写出的取值范围.
阅读下面材料:小明研究了这样一个问题:求使得等式成立的x的个数.小明发现,先将该等式转化为,再通过研究函数的图象与函数的图象(如图)的交点,使问题得到解决.(1)当k=1时,使得原等式成立的x的个数为_______;(2)当0<k<1时,使得原等式成立的x的个数为_______;(3)当k>1时,使得原等式成立的x的个数为_______.参考小明思考问题的方法,解决问题:关于x的不等式只有一个整数解,求的取值范围.
如图,Rt△ABC中,∠A=90°,以AB为直径的⊙O交BC于点D,点E在⊙O上, CE=CA,AB,CE的延长线交于点F.(1)求证:CE与⊙O相切;(2)若⊙O的半径为3,EF=4,求BD的长.