已知函数f(x)＝ax2＋a2x＋2b－a3，当x∈(

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知函数f(x)＝ax²＋a²x＋2b－a³，当x∈(－2,6)时，其值为正，而当x∈(－∞，－2)∪(6，＋∞)时，其值为负．
（Ⅰ）求实数a，b的值及函数f(x)的表达式；
（Ⅱ）设F(x)＝－f(x)＋4(k＋1)x＋2(6k－1)，问k取何值时，函数F(x)的值恒为负值？

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设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，对任意的正整数 $n$ ，都有 $a_{n} = 5 S_{n} + 1$ 成立，记 $b_{n} = \frac{4 + a_{n}}{1 - a_{n}} (n \in N^{*})$ .
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 与数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $R_{n}$ ，是否存在正整数 $k$ ，使得 $R_{n} > 4 k$ 成立？若存在，找出一个正整数 $k$ ；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）记 $c_{n} = b_{2 n} - b_{2 n - 1} (n \in N^{*})$ ，设数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证：对任意正整数 $n$ 都有 $T_{n} < \frac{3}{2}$ .

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如图，正方形 $A B C D$ 所在平面与平面四边形 $A B E F$ 所在平面互相垂直， $△ A B E$ 是等腰直角三角形， $A B = A E, F A = F E, ∠ A E F = 45 °$ .

（Ⅰ）求证： $E F ⊥$ 平面 $B C E$ ；
（Ⅱ）设线段 $C D$ 、 $A E$ 的中点分别为 $P$ 、 $M$ ，求证： $P M ∥$ 平面 $B C E$ ；

（Ⅲ）求二面角 $F - B D - A$ 的大小.

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设数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，对任意的正整数n，都有 $a_{n} = 5 S_{n} + 1$ 成立，记 $b_{n} = \frac{4 + a_{n}}{1 - a_{n}} (n \in N *)$ 。
（Ⅰ）求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）记 $c_{n} = b_{2 n_{}} - b_{2 n - 1} (n \in N *)$ ，设数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求证：对任意正整数n都有 $T_{n}$ ；
（Ⅲ）设数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $R_{n}$ 。已知正实数 $λ$ 满足：对任意正整数 $n, R_{n} \leq λ n$ 恒成立，求 $λ$ 的最小值。

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已知 $a > 0, 且 a \neq 1$ 函数 $f (x) = \log_{a} (1 - a^{x})$ .
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的定义域，并判断 $f (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）若 $n \in N^{*}$ ,求 $\underset{n \to + Z}{l i m} \frac{a^{f (x)}}{a^{x} + a}$ ；
（Ⅲ）当 $a = e$ （ $e$ 为自然对数的底数）时，设 $h (x) = (1 - e^{f (x)}) (x^{2} - m + 1)$ ，若函数 $h (x)$ 的极值存在，求实数 $m$ 的取值范围以及函数 $h (x)$ 的极值.

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如图，正方形 $A B C D$ 所在平面与平面四边形 $A B E F$ 所在平面互相垂直， $△ A B E$ 是等腰直角三角形， $A B = A E, F A = F E, ∠ A E F = 45^{°}$ 。

（Ⅰ）求证： $E F ⊥ 平面 B C E$ ；
（Ⅱ）设线段 $C D$ 的中点为 $P$ ，在直线 $A E$ 上是否存在一点 $M$ ，使得 $P M ∥ 平面 B C E$ ？若存在，请指出点 $M$ 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求二面角 $F - B D - A$ 的大小。

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