(本小题满分14分)已知为平面上点的坐标．（1）设集合，从集

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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(本小题满分14分)已知为平面上点的坐标．
（1）设集合，从集合中随机取一个数作为，从集合中随机取一个数作为，求点在轴上的概率；
（2）设，求点落在不等式组：所表示的平面区域内的概率．

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设函数 $f (x) = \ln (x + a) + x^{3}$ .
（Ⅰ）若当 $x = - 1$ 时 $f (x)$ 取得极值，求 $a$ 的值，并讨论 $f (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）若 $f (x)$ 存在极值，求 $a$ 的取值范围，并证明所有极值之和大于 $\ln \frac{e}{2}$ .

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如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为 $\frac{m}{n} S$ . 假设正方形ABCD的边长为2，M的面积为1，并向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，以X表示落入M中的点的数目.
（Ⅰ）求X的均值EX；
（Ⅱ）求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间(-0.03,0.03)内的概率.
附表： $P (k) = \sum_{i = 0}^{λ} C_{10000}^{1} \times 0 . 25^{λ} \times 0 . 75^{10000 - i}$

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（Ⅰ）求 $k$ 的取值范围；
（Ⅱ）设椭圆与 $x$ 轴正半轴、 $y$ 轴正半轴的交点分别为 $A$ 、 $B$ ，是否存在常数 $k$ ，使得向量 $\underset{O P}{\to} + \underset{O Q}{\to}$ 与 $\underset{A B}{\to}$ 共线？如果存在，求 $k$ 值；如果不存在，请说明理由.

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如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中, 侧面 $S A B$ 与侧面 $S A C$ 均为等边三角形, $∠ B A C = 90^{°}$ , $O$ 为 $B C$ 中点.
（Ⅰ）证明： $S O ⊥$ 平面 $A B C$

（Ⅱ）求二面角 $A - S C - B$ 的余弦值.

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如图，测量河对岸的塔高 $A B$ 时，可以选与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测点 $C$ 与 $D$ . 现测得 $∠ B C D = α$ ， $∠ B C D = β$ ， $C D = s$ ，并在点 $C$ 测得塔顶 $A$ 的仰角为 $θ$ ，求塔高 $A B$ .

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