（本小题满分12分）已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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（本小题满分12分）
已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足．若点满足．
（I）求点的轨迹的方程；
（II）设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

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某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：

赔付金额（元）	0	1000	2000	3000	4000
车辆数（辆）	500	130	100	150	120

（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10℅，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20℅，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.

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四面体 $A B C D$ 及其三视图如图所示，平行于棱 $A D, B C$ 的平面分别交四面体的棱 $A B, B D, D C, C A$ 于点 $E, F, G, H$ .

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在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，直线 $y = x$ 被椭圆 $C$ 截得的线段长为 $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ .
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点（ $A, B$ 不是椭圆 $C$ 的顶点）.点 $D$ 在椭圆 $C$ 上，且 $A D ⊥ A B$ ，直线 $B D$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $M, N$ 两点.
（i）设直线 $B D, A M$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，证明存在常数 $λ$ 使得 $k_{1} = λ k_{2}$ ，并求出 $λ$ 的值；
（ii）求 $∆ C M N$ 面积的最大值.

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