（本小题满分14分）已知x＝4是函数f（x）＝alnx＋x2

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题满分14分）
已知x＝4是函数f（x）＝alnx＋x²－12x+11的一个极值点．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若直线y＝b与函数y＝f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．

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已知函数 $f (x) = {(\sin x + \cos x)}^{2} + \cos 2 x$

（Ⅰ）求 $f (x)$ 最小正周期；
（Ⅱ）求 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值.

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设函数 $f (x) = x^{2} - a x + b$ .
（Ⅰ）讨论函数 $f (\sin x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
（Ⅱ）记 $f_{0} (x) = x^{2} - a_{0} x + b_{0}$ ，求函数 $|f (\sin x) - f_{0} (\sin x)|$ 在 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取 $a_{0} = b_{0} = 0$ ，求 $z = b - \frac{a^{2}}{4}$ 满足 $D \leq 1$ 时的最大值.

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（Ⅰ）求 $E$ 的离心率 $e$ ；
（Ⅱ）设点 $C$ 的坐标为 $(0, - b)$ ， $N$ 为线段 $A C$ 的中点，点N关于直线 $A B$ 的对称点的纵坐标为 $\frac{7}{2}$ ，求 $E$ 的方程.

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（Ⅰ）证明： $E F ∥ B_{1} C$ ；
（Ⅱ）求二面角 $E - A_{1} D - B_{1}$ 余弦值.

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设 $n \in N^{+}$ ， $x_{n}$ 是曲线 $y = x^{2 n + 2} + 1$ 在点 $(1, 2)$ 处的切线与 $x$ 轴交点的横坐标.
（Ⅰ）求数列 ${x_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）记 $T_{n} = {x_{1}}^{2} {x_{3}}^{2} . . . {x_{2 n - 1}}^{2}$ ，证明 $T_{n} \geq \frac{1}{4 n}$ .

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