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如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ B = 40 °$ ， $∠ C = 50 °$ ．

（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线 $DF$ 是线段 $AB$ 的　　，射线 $AE$ 是 $∠ DAC$ 的　　；

（2）在（1）所作的图中，求 $∠ DAE$ 的度数．

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解不等式组 $\{\begin{matrix} x - 3 (x - 2) ⩾ 4 \\ \frac{2 x - 1}{3} ⩽ \frac{x + 1}{2} \end{matrix}$ ．

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先化简，再求值： $\frac{2}{x^{2} - 1} \div \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1}$ ，从1，2，3这三个数中选择一个你认为适合的 $x$ 代入求值．

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如图，直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 与 $x$ ， $y$ 轴分别交于点 $B$ ， $A$ ，顶点为 $P$ 的抛物线 $y = a x^{2} - 2 ax + c$ 过点 $A$ ．

（1）求出点 $A$ ， $B$ 的坐标及 $c$ 的值；

（2）若函数 $y = a x^{2} - 2 ax + c$ 在 $3 ⩽ x ⩽ 4$ 时有最大值为 $a + 2$ ，求 $a$ 的值；

（3）连接 $AP$ ，过点 $A$ 作 $AP$ 的垂线交 $x$ 轴于点 $M$ ．设 $ΔBMP$ 的面积为 $S$ ．

①直接写出 $S$ 关于 $a$ 的函数关系式及 $a$ 的取值范围；

②结合 $S$ 与 $a$ 的函数图象，直接写出 $S > \frac{1}{8}$ 时 $a$ 的取值范围．

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在 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $\frac{AC}{BC} = m$ ， $D$ 是边 $BC$ 上一点，将 $ΔABD$ 沿 $AD$ 折叠得到 $ΔAED$ ，连接 $BE$ ．

（1）特例发现

如图1，当 $m = 1$ ， $AE$ 落在直线 $AC$ 上时．

①求证： $∠ DAC = ∠ EBC$ ；

②填空： $\frac{CD}{CE}$ 的值为　　；

（2）类比探究

如图2，当 $m \neq 1$ ， $AE$ 与边 $BC$ 相交时，在 $AD$ 上取一点 $G$ ，使 $∠ ACG = ∠ BCE$ ， $CG$ 交 $AE$ 于点 $H$ ．探究 $\frac{CG}{CE}$ 的值（用含 $m$ 的式子表示），并写出探究过程；

（3）拓展运用

在（2）的条件下，当 $m = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $D$ 是 $BC$ 的中点时，若 $EB \cdot EH = 6$ ，求 $CG$ 的长．

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