已知向量,记。(1)若,求的值;(2)中,角、、的对边分别为、、,且满足,,,试求的面积。
已知二次函数,其导函数为,数列的前项和为点均在函数的图像上;.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)若,求数列的通项公式;(Ⅲ)已知不等式成立,求证:
设椭圆为正整数,为常数.曲线在点处的切线方程为.(Ⅰ)求函数的最大值;(Ⅱ)证明:.
已知椭圆上的任意一点到它两个焦点的距离之和为,且它的焦距为2.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)已知直线与椭圆交于不同两点,且线段的中点不在圆内,求实数的取值范围.
学校游园活动有这样一个游戏节目,甲箱子里装有3个白球、2个黑球;乙箱子里装有1个白球、2个黑球。这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)(Ⅰ)求在一次游戏中:①摸出3个白球的概率;②获奖的概率;(Ⅱ)求在两次游戏中获奖次数的分布列及数学期望.
如图,直三棱柱中,,,是棱的中点.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)求二面角的余弦值。