某校九年级两个班各为红十字会捐款1800元．已知2班比1班人

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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挑错有奖

某校九年级两个班各为红十字会捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．

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先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{a}) \div (\frac{a^{2} + 1}{a} - 2)$ ，其中 $a = \sqrt{3} + 1$ ．

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计算： ${(- 1)}^{3} + | 1 - \sqrt{2} | + \sqrt[3]{8}$ ．

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如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 $OABC$ 的顶点 $A$ ， $C$ 的坐标分别为 $(6, 0)$ ， $(4, 3)$ ，经过 $B$ ， $C$ 两点的抛物线与 $x$ 轴的一个交点 $D$ 的坐标为 $(1, 0)$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若 $∠ AOC$ 的平分线交 $BC$ 于点 $E$ ，交抛物线的对称轴于点 $F$ ，点 $P$ 是 $x$ 轴上一动点，当 $PE + PF$ 的值最小时，求点 $P$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，过点 $A$ 作 $OE$ 的垂线交 $BC$ 于点 $H$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点 $M$ ， $N$ ，使得以点 $M$ ， $N$ ， $H$ ， $E$ 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点 $M$ 的坐标，若不存在，说明理由．

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为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：

	甲型客车	乙型客车
载客量（人 $/$ 辆）	35	30
租金（元 $/$ 辆）	400	320

学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师．

（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？

（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为　8　辆；

（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？

题型：未知
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如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 为 $⊙ O$ 上一点，点 $P$ 是半径 $OB$ 上一动点（不与 $O$ ， $B$ 重合），过点 $P$ 作射线 $l ⊥ AB$ ，分别交弦 $BC$ ， $\hat{BC}$ 于 $D$ ， $E$ 两点，在射线 $l$ 上取点 $F$ ，使 $FC = FD$ ．

（1）求证： $FC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）当点 $E$ 是 $\hat{BC}$ 的中点时，

①若 $∠ BAC = 60 °$ ，判断以 $O$ ， $B$ ， $E$ ， $C$ 为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；

②若 $\tan ∠ ABC = \frac{3}{4}$ ，且 $AB = 20$ ，求 $DE$ 的长．

题型：未知
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