(14分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋k(k<0)在x＝0

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
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(14分)设函数f(x)＝ax²＋bx＋k(k>0)在x＝0处取得极值，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线x＋2y＋1＝0.
(1)求a，b的值；
(2)若函数g(x)＝，讨论g(x)的单调性．

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设是方程的一个根．
（1）求；
（2）设（其中为虚数单位，），若的共轭复数满足，求．

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在直角坐标系中，设动点到定点的距离与到定直线的距离相等，记的轨迹为．又直线的一个方向向量且过点，与交于两点，求的长．

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已知函数 $f (x) = 2 - |x|$ ,无穷数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = f (a_{n})$ , $n \in N^{*}$ .
（1）若 $a_{1} = 0$ ,求 $a_{2}, a_{3}, a_{4}$ ；
（2）若 $a_{1} > 0$ ,且 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 成等比数列，求 $a_{1}$ 的值
（3）是否存在 $a_{1}$ ，使得 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dots$ 成等差数列？若存在，求出所有这样的 $a_{1}$ ，若不存在，说明理由．

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已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x ）$ ，其中常数 $ω > 0$
（1）令 $ω = 1$ ，判断函数 $F (x) = f (x) + f (x + \frac{π}{2})$ 的奇偶性，并说明理由；
（2）令 $ω = 2$ ，将函数 $y = F (x)$ 的图象向左平移个 $\frac{π}{6}$ 单位，再向上平移1个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，对任意 $a \in R$ ，求 $y = g (x)$ 在区间 $[a, a + 10 π]$ 上零点个数的所有可能值．

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甲厂以 $x$ 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 $1 \leq x \leq 10$ ），每一小时可获得的利润是 $100 (5 x + 1 - \frac{3}{x})$ 元．
（1）求证：生产 $a$ 千克该产品所获得的利润为 $100 a (5 + \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}})$ 元；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．

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