某学校为开展阳光体育活动，计划拿出不超过3000元的资金购买

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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某学校为开展"阳光体育"活动，计划拿出不超过
3000元的资金购买一批篮球、羽毛球拍和乒乓球拍，已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单
价比为8︰3︰2，且其单价和为130元．
⑴ 请问篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别是多少元？
⑵ 若要求购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是80个（副），羽毛球拍的数量是篮球
数量的4倍，且购买乒乓球拍的数量不超过15副，请问有几种购买方案？

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某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量 $y$ （件 $)$ 是关于售价 $x$ （元 $/$ 件）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价 $x$ ，周销售量 $y$ ，周销售利润 $W$ （元 $)$ 的三组对应值数据．

$x$	40	70	90
$y$	180	90	30
$W$	3600	4500	2100

（1）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）若该商品进价 $a$ （元 $/$ 件），售价 $x$ 为多少时，周销售利润 $W$ 最大？并求出此时的最大利润；

（3）因疫情期间，该商品进价提高了 $m$ （元 $/$ 件） $(m > 0)$ ，公司为回馈消费者，规定该商品售价 $x$ 不得超过55（元 $/$ 件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求 $m$ 的值．

题型：未知
难度：未知

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如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ，点 $E$ 在 $BC$ 边上，过 $A$ ， $C$ ， $E$ 三点的 $⊙ O$ 交 $AB$ 边于另一点 $F$ ，且 $F$ 是 $\hat{AE}$ 的中点， $AD$ 是 $⊙ O$ 的一条直径，连接 $DE$ 并延长交 $AB$ 边于 $M$ 点．

（1）求证：四边形 $CDMF$ 为平行四边形；

（2）当 $CD = \frac{2}{5} AB$ 时，求 $\sin ∠ ACF$ 的值．

题型：未知
难度：未知

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已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 2 m - 1 = 0$ 有 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 两实数根．

（1）若 $x_{1} = 1$ ，求 $x_{2}$ 及 $m$ 的值；

（2）是否存在实数 $m$ ，满足 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) = \frac{6}{m - 5}$ ？若存在，求出实数 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

题型：未知
难度：未知

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某海域有一小岛 $P$ ，在以 $P$ 为圆心，半径 $r$ 为 $10 (3 + \sqrt{3})$ 海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在 $A$ 处测得小岛 $P$ 位于北偏东 $60 °$ 的方向上，当海监船行驶 $20 \sqrt{2}$ 海里后到达 $B$ 处，此时观测小岛 $P$ 位于 $B$ 处北偏东 $45 °$ 方向上．

（1）求 $A$ ， $P$ 之间的距离 $AP$ ；

（2）若海监船由 $B$ 处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由 $B$ 处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？

题型：未知
难度：未知

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如图，点 $E$ 是正方形 $ABCD$ 的边 $BC$ 上的动点， $∠ AEF = 90 °$ ，且 $EF = AE$ ， $FH ⊥ BH$ ．

（1）求证： $BE = CH$ ；

（2）若 $AB = 3$ ， $BE = x$ ，用 $x$ 表示 $DF$ 的长．

题型：未知
难度：未知

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