设函数，其中,。（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）是否

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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设函数，其中,。
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）是否存在负数，使对一切正数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。

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设，其中为正实数
（Ⅰ）当时，求的极值点；
（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。

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若数列 $A_{1} = a_{1}, a_{2} . . . a_{n} (n \geq 2)$ 满足 $|a_{k + 1} - a_{k}| = 1 (k = 1, 2, . . ., n - 1)$ ，数列 $A_{n}$ 为 $E$ 数列，记 $S (A_{n})$ = $a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}$ .
（Ⅰ）写出一个满足 $a_{1} = a_{5} = 0$ ，且 $S (A_{5}) > 0$ 的 $E$ 数列 $A_{n}$ ；
（Ⅱ）若 $a_{1} = 12$ ， $n = 2000$ ，证明： $E$ 数列 $A_{n}$ 是递增数列的充要条件是 $a_{n} = 2011$ ；
（Ⅲ）对任意给定的整数 $n (n \geq 2)$ ，是否存在首项为 $0$ 的 $E$ 数列 $A_{n}$ ，使得 $S (A_{n})$ = $0$ ？如果存在，写出一个满足条件的 $E$ 数列 $A_{n}$ ；如果不存在，说明理由.

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已知椭圆 $G : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ .过点 $(m, 0)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 的切线l交椭圆 $G$ 于 $A, B$ 两点.
（I）求椭圆 $G$ 的焦点坐标和离心率；
（II）将 $|A B|$ 表示为 $m$ 的函数，并求 $|A B|$ 的最大值.

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已知函数 $f (x) = (x - k)^{2} e^{\frac{x}{k}}$ .
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的 $x \in (0, + \infty)$ ，都有 $f (x) \leq \frac{1}{e}$ ，求 $k$ 的取值范围.

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以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 $X$ 表示。

（Ⅰ）如果 $X = 8$ ,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（Ⅱ）如果 $X = 9$ ，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。
（注：方差 $s^{2} = \frac{1}{n} [{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + \dots + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}]$ ，其中 $\bar{x}$ 为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，…… $x_{n}$ 的平均数）

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