（本小题满分12分）已知直线l：2mx－y－8m

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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（本小题满分12分）已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和
圆C：(x－3)²＋(y＋6)²＝25.
(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C总相交；
(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程．

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为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：

（Ⅰ）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；
（Ⅱ）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 $x_{1}, x_{2}$ ，估计 $x_{1} - x_{2}$ 的值.

题型：未知
难度：未知

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设函数 $f (x) = \sin x + \sin (x + \frac{π}{3})$ .
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小值，并求使 $f (x)$ 取得最小值的的集合；
（Ⅱ）不画图，说明函数 $y = f (x)$ 的图像可由 $y = \sin x$ 的图象经过怎样的变化得到.

题型：未知
难度：未知

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给定数列 $a_{1}, a_{2}, . ., a_{n}$ .对 $i = 1, 2, . . ., n - 1$ ，该数列前 $i$ 项的最大值记为 $A_{i}$ ，后 $n - i$ 项 $a_{i + 1}, a_{i + 2}, . . ., a_{n}$ 的最小值记为 $B_{i}$ ， $d_{i} = A_{i} - B_{i}$ .
（1）设数列 ${a_{n}}$ 为 $3, 4, 7, 1$ ，写出 $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ 的值；
（2）设 $a_{1}, a_{2}, . ., a_{n}$ $(n \geq 4)$ 是公比大于1的等比数列，且 $a_{1} > 0$ .证明： $d_{1}, d_{2}, . . ., d_{n - 1}$ 是等比数列.
（3）设 $d_{1}, d_{2}, . . ., d_{n - 1}$ 是公差大于0的等差数列，且 $d_{1} > 0$ ，证明： $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n - 1}$ 是等差数列.

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直线 $y = k x + m (m \neq 0)$ 与椭圆 $W : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 相交于 $A, C$ 两点， $O$ 为坐标原点.
（Ⅰ）当点 $B$ 的坐标为 $(0, 1)$ ，且四边形 $O A B C$ 为菱形时，求 $A C$ 的长；
（Ⅱ）当点 $B$ 在 $W$ 上且不是 $W$ 的顶点时，证明：四边形 $O A B C$ 不可能为菱形.

题型：未知
难度：未知

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已知函数 $f (x) = x^{2} + x \sin x + \cos x$ .
（Ⅰ）若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(a, f (a))$ 处与直线 $y = b$ 相切，求 $a$ 与 $b$ 的值.
（Ⅱ）若曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = b$ 有两个不同的交点，求 $b$ 的取值范围.

题型：未知
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