(本小题满分12分)电视台举办猜奖活动，参与者需先后回答两道_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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(本小题满分12分)电视台举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题：问题A有四个选项，问题B有六个选项，但都只有一个选项是正确的。问题A回答正确可得奖金m元，问题B回答正确可得奖金n元。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
活动规定：①参与者可任意选择答题顺序；②如果第一个问题回答错误则该参与者猜奖活动中止。
一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，因而准备靠随机猜测回答问题，试确定回答问题的顺序，使获奖金额的期望值较大。

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已知函数 $f (x) = \cos (2 x - \frac{π}{3}) + 2 \sin (x - \frac{π}{4}) \sin (x + \frac{π}{4})$

（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的最小正周期和图象的对称轴方程
（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{12}, \frac{π}{2}]$ 上的值域

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设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $M (\sqrt{2}, 1)$ ，且左焦点为 $F_{1} (- \sqrt{2}, 0)$

（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）当过点 $P (4, 1)$ 的动直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交与两不同点 $A, B$ 时，在线段 $A B$ 上取点 $Q$ ，满足 $|\overset{⇀}{A P}| = |\overset{⇀}{Q B}| = |\overset{⇀}{A Q}| = |\overset{⇀}{P B}|$ ，证明：点 $Q$ 总在某定直线上.

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设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{0} = 0, a_{n + 1} = c {a_{n}}^{3} + 1 - c, c \in N^{*}$ ,其中 $c$ 为实数.
（Ⅰ）证明： $a_{n} \in [0, 1]$ 对任意 $n \in N^{*}$ 成立的充分必要条件是 $c \in [0, 1]$ .

（Ⅱ）设 $0 < c < \frac{1}{3}$ ，证明： $a_{n} \geq 1 - (3 c)^{n - 1}, n \in N^{*}$ ;
（Ⅲ）设 $0 < c < \frac{1}{3}$ ，证明： ${a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + . . . . + {a_{n}}^{2} > n + 1 - \frac{2}{1 - 3 c}, n \in N^{*}$

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（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）已知 $2^{\frac{1}{x}} > x^{2}$ 对任意 $x \in (0, 1)$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围。

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为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了 $n$ 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为 $p$ ，设 $ξ$ 为成活沙柳的株数，数学期望 $E ξ = 3$ ，标准差 $σ ξ$ 为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .
（Ⅰ）求 $n, p$ 的值并写出 $ξ$ 的分布列；
（Ⅱ）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率.

题型：未知
难度：未知

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