已知 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 是底面边长为1的正四棱柱， $O_1$ 是 $A_1{C}_1$ 和 $B_1{D}_1$ 的交点.
⑴ 设 $A{B}_1$ 与底面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 所成的角的大小为 $\alpha$ ，二面角 $A-B_1{D}_1-A_1$ 的大小为 $\beta$ .求证： $\tan \beta =\sqrt{2}\tan \alpha$ ；
⑵ 若点 $C$ 到平面 $A{B}_1{D}_1$ 的距离为 $\frac{4}{3}$ ，求正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的高.