设 $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+mx+nx$.
（1）如果 $g\left(x\right)=f^{`}\left(x\right)-2x-3$在 $x=-2$处取得最小值 $-5$，求 $f\left(x\right)$的解析式；
（2）如果 $m+n<10\left(m,n\in N_{+}\right)$， $F\left(x\right)$的单调递减区间的长度是正整数，试求 $m$和 $n$的值．(注：区间 $\left(a,b\right)$的长度为 $b-a$）