某中学的高二(1)班男同学有名,女同学有名,老师按照分层抽样的方法组建了一个人的课外兴趣小组.(Ⅰ)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数;(Ⅱ)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验,方法是先从小组里选出名同学做实验,该同学做完后,再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验,求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率;(Ⅲ)试验结束后,第一次做试验的同学得到的试验数据为,第二次做试验的同学得到的试验数据为,请问哪位同学的实验更稳定?并说明理由.
选修:几何证明选讲 如图,圆内接四边形的边与的延长线交于点,点在的延长线上. (Ⅰ)若,求的值; (Ⅱ)若,证明:.
已知函数(). (Ⅰ)讨论的单调性; (Ⅱ)若对任意恒成立,求实数的取值范围(为自然常数); (Ⅲ)求证:(,).
已知直线与椭圆相交于两点. (Ⅰ)若椭圆的离心率为,焦距为2,求线段的长; (Ⅱ)若向量与向量互相垂直(其中为坐标原点),当椭圆的离心率时,求椭圆的长轴长的最大值.
如图,已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直线,且,且∥. (Ⅰ)设点为棱中点,求证:平面; (Ⅱ)线段上是否存在一点,使得直线与平面所成角的正弦值等于?若存在,试确定点的位置;若不存在,请说明理由.
甲、乙、丙三班进行知识竞赛,每两班比赛一场,共赛三场.每场比赛胜者得分,负者得分,没有平局,在每一场比赛中,甲班胜乙班的概率为,甲班胜丙班的概率为,乙班胜丙班的概率为. (Ⅰ)求甲班获第一名且丙班获第二名的概率; (Ⅱ)设在该次比赛中,甲班得分为,求的分布列和数学期望.