如图，在 中， ， ，以线段 为边向外作等边 ，点 是线段 的中点，连接 并延长交线段 于点 ．
（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2）若 ，求平行四边形 的面积．
永州植物园“清风园”共设11个主题展区．为推进校园文化建设，某校九年级（1）班组织部分学生到“清风园”参观后，开展“我最喜欢的主题展区”投票调查．要求学生从“和文化”、“孝文化”、“德文化”、“理学文化”、“瑶文化”五个展区中选择一项，根据调查结果绘制出了两幅不完整的条形统计图和扇形统计图．结合图中信息，回答下列问题．
（1）参观的学生总人数为 人；
（2）在扇形统计图中最喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为 ；
（3）补全条形统计图；
（4）从最喜欢“德文化”的学生中随机选两人参加知识抢答赛，最喜欢“德文化”的学生甲被选中的概率为 ．
如图，已知抛物线 与 轴交于 ， 两点 点在 点的左边），与 轴交于点 ．
（1）如图1，若 为直角三角形，求 的值；
（2）如图1，在（1）的条件下，点 在抛物线上，点 在抛物线的对称轴上，若以 为边，以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，求 点的坐标；
（3）如图2，过点 作直线 的平行线交抛物线于另一点 ，交 轴于点 ，若 ，求 的值．
如图1，在矩形 中， 是 的中点，以点 为直角顶点的直角三角形 的两边 ， 分别过点 ， ， ．
（1）求证： ；
（2）将 绕点 按顺时针方向旋转，当旋转到 与 重合时停止转动，若 ， 分别与 ， 相交于点 ， （如图 ．
①求证： ；
②若 ，求 面积的最大值；
③当旋转停止时，点 恰好在 上（如图 ，求 的值．
益马高速通车后，将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低，马迹塘一农户需要将 ， 两种农产品定期运往益阳某加工厂，每次运输 ， 产品的件数不变，原来每运一次的运费是1200元，现在每运一次的运费比原来减少了300元． ， 两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元 件）如下表所示：
品种 |
|
|
原运费 |
45 |
25 |
现运费 |
30 |
20 |
（1）求每次运输的农产品中 ， 产品各有多少件？
（2）由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货量，每次运送的产品总件数增加8件，但总件数中 产品的件数不得超过 产品件数的2倍，问产品件数增加后，每次运费最少需要多少元？
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