用边长的正方形的铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去相同的小

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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用边长的正方形的铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去相同的小正方形，然后把四边翻转再焊接而成．问水箱底边应取多少，才能使水箱的容积最大？

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已知函数 $f (x) = a x + \frac{b}{x} + c (a > 0)$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = x - 1$ .

(I)用 $a$ 表示出 $b, c$ ;

(II)若 $f (x) \geq \ln x$ 在 $[1, + \infty)$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(III)证明： $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + . . . + \frac{1}{n} > \ln (n + 1) + \frac{n}{2 (n + 1)} (n \geq 1)$ .

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已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $\frac{3 (1 + a_{n + 1})}{1 - a_{n}} = \frac{2 (1 + a_{n})}{1 - a_{n + 1}}$ , $a_{n} a_{n + 1} ＜ 0 （ n \geq 1 ）$ ；数列_{${b_{n}}$}满足： $b_{n} = {a_{n + 1}}^{2} - {a_{n}}^{2} （ n \geq 1 ）$ .

（1）求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

（2）证明：数列 ${b_{n}}$ 中的任意三项不可能成等差数列。

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如图，在四面体 $A B O C$ 中, $O C ⊥ O A, O C ⊥ O B, ∠ A O B = 120^{°}$ , 且 $O A = O B = O C = 1$ .

（Ⅰ）设为 $P$ 为 $A C$ 的中点，证明：在 $A B$ 上存在一点 $Q$ ，使 $P Q ⊥ O A$ ，并计算 $\frac{A B}{A Q}$ 的值；
（Ⅱ）求二面角 $O - A C - B$ 的平面角的余弦值.

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为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用 $C$ （单位：万元）与隔热层厚度 $x$ （单位： $c m$ ）满足关系： $C (x) = \frac{k}{3 x + 5} (0 \leq x \leq 10)$ .若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设 $f (x)$ 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。
（Ⅰ）求 $k$ 的值及 $f (x)$ 的表达式。
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用 $f (x)$ 达到最小，并求最小值。

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已知函数 $f (x) = \cos (\frac{π}{3} + x) \cos (\frac{π}{3} - x), g (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x - \frac{1}{4}$
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 的最大值，并求使 $h (x)$ 取得最大值的 $x$ 的集合。

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