(13分)已知函数。（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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(13分)
已知函数。
（I）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当函数在区间上的最小值为时，求实数的值；
（Ⅲ）若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围。

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在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{matrix} x = 2 cosθ \\ y = 4 sinθ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数），直线 $l$ 的参数方程为 $\{\begin{matrix} x = 1 + tcosα \\ y = 2 + tsinα \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）.

（1）求 $C$ 和 $l$ 的直角坐标方程；

（2）若曲线 $C$ 截直线 $l$ 所得线段的中点坐标为 $(1, 2)$ ，求 $l$ 的斜率．

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（1）若 $a = 1$ ，证明：当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq 1$ ；

（2）若 $f (x)$ 在只有一个零点，求 $a$ 的值.

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如图，在三棱锥 $P - ABC$ 中， $AB = BC = 2 \sqrt{2}$ ， $PA = PB = PC = AC = 4$ ， $O$ 为 $AC$ 的中点．

（1）证明： $PO ⊥$ 平面 $ABC$ ；

（2）若点 $M$ 在棱 $BC$ 上，且二面角 $M - PA - C$ 为 $30 °$ ，求 $PC$ 与平面 $PAM$ 所成角的正弦值．

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设抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率为 $k (k > 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $| AB | = 8$ ．

（1）求 $l$ 的方程；

（2）求过点 $A$ ， $B$ 且与 $C$ 的准线相切的圆的方程．

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下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 $y$ （单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 $y$ 与时间变量 $t$ 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量 $t$ 的值依次为 $α + \frac{π}{3} = \frac{π}{2}, 即 α = \frac{π}{6}$ ）建立模型①： $\hat{y} = - 30.4 + 13.5 t$ ；根据2010年至2016年的数据（时间变量 $t$ 的值依次为 $\{\begin{matrix} x \geq 2 \\ x - 2 + 2 x - 2 > 2 \end{matrix}$ ）建立模型②： $\hat{y} = 99 + 17.5 t$ ．

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

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