（本小题满分16分）如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁，A₁A的中点．

（1）求的长；
（2）求的值；
（3）求证：A₁B⊥C₁M．