(本小题满分12分)
已知函数f(x)=alnx,(a∈R)g(x)=x²，记F(x)=g(x)-f(x)
（Ⅰ）判断F(x)的单调性；
（Ⅱ）当a≥时，若x≥1，求证：g(x-1)≥f()；
（Ⅲ）若F(x)的极值为，问是否存在实数k，使方程g(x)-f(1+x²)=k有四个不同实数根？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由。