（本小题满分14分）如图5，在三棱柱中，侧棱底面,为的中点,

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题满分14分）
如图5，在三棱柱中，侧棱底面,为的中点,
.
(1) 求证：平面；
(2)若四棱锥的体积为,求二面角的正切值.
图5

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已知数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 满足： $a_{1} = λ, a_{n + 1} = \frac{2}{3} a_{n} + n - 4, b_{n} = (- 1)^{n} (a_{n} - 3 n + 21)$ 其中 $λ$ 为实数， $n$ 为正整数。
（Ⅰ）对任意实数 $λ$ ，证明数列 ${a_{n}}$ 不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列 ${b_{n}}$ 是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设 $0 < a < b$ ， $S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和。是否存在实数 $λ$ ，使得对任意正整数 $n$ ，都有 $a < S_{n} < b$ ?若存在，求 $λ$ 的取值范围；若不存在，说明理由。

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$V (t)$ = $\{\begin{cases} (- t^{2} + 14 t - 40) e^{\frac{1}{t}} + 50, 0 < t \leq 10 \\ 4 (t - 10) (3 t - 41) + 50, 10 < t \leq 12 \end{cases}$ 。
（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期，以 $i - 1 < t$ , $t$ 表示第1月份（ $i$ =1,2,…,12），同一年内哪几个月份是枯水期？
（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取 $e$ =2.7计算）

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如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A_{1} B C ⊥$ 侧面 $A_{1} A B B_{1}$

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