（本小题满分14分）如图所示，在边长为12的正方形中，点在线

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题满分14分）
如图所示，在边长为12的正方形中，点在线段上，且，，作//，分别交，于点，，作//，分别交，于点，，将该正方形沿，折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求四棱锥的体积；

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设各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $4 S_{n} = a_{n + 1}^{2} - 4 n - 1, n \in N^{*}$ ,且 $a_{2}, a_{5}, a_{14}$ 构成等比数列．
(1) 证明： $a_{2} = \sqrt{4 a_{1} + 5}$ ；
(2) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
(3) 证明：对一切正整数 $n$ ，有 $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + . . . + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} < \frac{1}{2}$ ．

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难度：未知

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如图①，在边长为1的等边三角形 $A B C$ 中， $D, E$ 分别是 $A B, A C$ 边上的点， $A D = A E$ ， $F$ 是 $B C$ 的中点， $A F$ 与 $D E$ 交于点 $G$ ，将 $△ A B F$ 沿 $A F$ 折起，得到如图②所示的三棱锥 $A - B C F$ ，其中 $B C = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1) 证明： $D E / /$ 平面 $B C F$ ；
(2) 证明： $C F ⊥$ 平面 $A B F$ ；
(3) 当 $A D = \frac{2}{3}$ 时，求三棱锥 $F - D E G$ 的体积 $V_{F - D E G}$ ．

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从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：

分组（重量）	$[80, 85)$	$[85, 90)$	$[90, 95)$	$[95, 100)$
频数（个）	5	10	20	15

(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在 $[90, 95)$ 的频率；
(2) 用分层抽样的方法从重量在 $[80, 85)$ 和 $[95, 100)$ 的苹果中共抽取4个，其中重量在 $[80, 85)$ 的有几个？
(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在 $[80, 85)$ 和 $[95, 100)$ 中各有1个的概率．

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已知函数 $f (x) = \sqrt{2} \cos (x - \frac{π}{12}), x \in R$ ．
(1) 求 $f (\frac{π}{3})$ 的值；
(2) 若 $\cos θ = \frac{3}{5}, θ \in (\frac{3 π}{2}, 2 π)$ ，求 $f (θ - \frac{π}{6})$ ．

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设数列 $\{a_{n}\}$ ： $1, - 2, - 2, 3, 3, 3, - 4, - 4, - 4, - 4, \dots, \overset{k 个}{\overset{⏞}{{(- 1)}^{k - 1} k, \dots, {(- 1)}^{k - 1} k}}, \dots$ ，即当 $\frac{(k - 1) k}{2} < n \leq \frac{k (k + 1)}{2} (k \in N^{*})$ 时，记 $a_{n} = {(- 1)}^{k - 1} k$ .记 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} (n \in N^{*})$ . 对于 $l \in N^{*}$ ，定义集合 $p_{i} = \{n S_{n} 是 a_{n} 的整数倍, n \in N^{*}, 1 \leq n \leq l\}$ .
（1）求集合 $P_{11}$ 中元素的个数；
（2）求集合 $P_{2000}$ 中元素的个数.

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