（本小题满分12分）某单位实行休年假制度三年以来，50名职工

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题满分12分）某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示：

休假次数
人数

根据上表信息解答以下问题：
（Ⅰ）从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之和，记“函数在区间，上有且只有一个零点”为事件，求事件发生的概率；
（Ⅱ）从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．

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如图,在三棱锥 $P - A B C$ 中, $∠ A P B = 90^{°}, ∠ P A B = 60^{°}, A B = B C = C A$ ,平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ .

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（Ⅱ）若 $f (x_{0}) = \frac{8 \sqrt{3}}{5}$ ，且 $x_{0} \in (- \frac{10}{3}, \frac{2}{3})$ ，求 $f (x_{0} + 1)$ 的值。

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对于数集 $X = \{- 1, x_{1}, x_{2,} \dots, x_{n}\}$ ，其中 $0 < x_{x} < x_{2} < \dots < x_{n}$ ， $n \geq 2$ ，定义向量集 $Y = \{\underset{a}{\to} \underset{a}{\to} = (s, t, s \in X, t \in X)\}$ . 若对于任意 $\underset{a_{1}}{\to} \in Y$ ，存在 $\underset{a_{2}}{\to} \in Y$ ，使得 $\underset{a_{1}}{\to} . \underset{a_{2}}{\to} = 0$ ，则称X具有性质 $P$ .例如 $X = \{- 1, 1, 2\}$ 具有性质 $P$ .
（1）若 $x > 2$ ，且 $\{- 1, 1, 2, x\}$ ，求 $x$ 的值；
（2）若 $X$ 具有性质 $P$ ，求证： $1 \in X$ ,且当 $x_{n} > 1$ 时， $x_{1} = 1$ ；
（3）若 $X$ 具有性质 $P$ ，且 $x_{1} = 1, x_{2} = q$ （ $q$ 为常数），求有穷数列 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的通项公式.

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（2）设斜率为1的直线 $l$ 交 $C_{1}$ 于 $P$ . $Q$ 两点，若 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，求证： $O P ⊥ O Q$ ；
（3）设椭圆 $C_{2} : 4 x^{2} + y^{2} = 1$ . 若 $M, N$ 分别是 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 上的动点，且 $O M ⊥ O N$ ，求证： $O$ 到直线 $M N$ 的距离是定值.

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