(本小题满分8分) 如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋,如果冰淇淋融化了,冰淇淋会从杯子溢出吗?请用你的计算数据说明理由.
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(本题满分18分,其中第1小题4分,第2小题6分,第,3小题8分)一青蛙从点开始依次水平向右和竖直向上跳动,其落点坐标依次是,(如图所示,坐标以已知条件为准),表示青蛙从点到点所经过的路程。(1) 若点为抛物线准线上一点,点,均在该抛物线上,并且直线经过该抛物线的焦点,证明.(2)若点要么落在所表示的曲线上,要么落在所表示的曲线上,并且,试写出(不需证明);(3)若点要么落在所表示的曲线上,要么落在所表示的曲线上,并且,求的表达式.
.(本题满分16分,其中第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分,)如图,已知椭圆,,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设为该双曲线上异于顶点的任一点,直线和与椭圆的交点分别为和.(1)求椭圆和双曲线的标准方程;(2)设直线、的斜率分别为、,证明;(3)是否存在常数,使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
(本题满分14分,其中第1小题6分,第2小题8分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用(单位:万元)与隔热层厚度(单位:cm)满足关系:,若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求的值及的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用达到最小,并求最小值.
(本题满分14分,其中第1小题6分,第2小题8分)在中, 分别为角的对边,且满足.(1)求角大小;(2)若,求的面积的最大值.
(本题满分12分,其中第1小题6分,第2小题6分)在直三棱柱中,,,且异面直线与所成的角等于,设(1)求的值;(2)求直线到平面的距离。