已知：抛物线，对称轴为直线，抛物线与y轴交于点，与轴交于、两

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知：抛物线，对称轴为直线，抛物线与y轴交于点，与轴交于、两点．
(1)求直线的解析式；
(2)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值；
(3)为抛物线上一点，若以线段为直径的圆与直线切于点,求点的坐标．

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△ABC为等边三角形， $AB ＝ 8$ ， $AD ⊥ BC$ 于点D，E为线段 $AD$ 上一点， $AE ＝ 2 \sqrt{3}$ ．以AE为边在直线 $AD$ 右侧构造等边三角形 $AEF$ ，连接 $CE$ ，N为 $CE$ 的中点．

（1）如图1， $EF 与 AC$ 交于点G，连接 $NG$ ，求线段 $NG$ 的长；

（2）如图2，将 $△ AEF$ 绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接 $DN$ ， $MN$ ．当 $30 ° ＜ α ＜ 120 °$ 时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；

（3）连接BN，在 $△ AEF$ 绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出 $△ ADN$ 的面积．

题型：未知
难度：未知

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如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y ＝ a x^{2} + bx + 2 （ a \neq 0 ）$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，与x轴交于 $A ， B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），且 $A$ 点坐标为 $(- \sqrt{2}, 0)$ ，直线 $BC$ 的解析式为 $y = - \frac{\sqrt{2}}{3} x + 2$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点 $A$ 作 $AD ∥ BC$ ，交抛物线于点D，点E为直线 $BC$ 上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；

（3）将抛物线 $y ＝ a x^{2} + bx + 2 （ a \neq 0 ）$ 向左平移 $\sqrt{2}$ 个单位，已知点 $M$ 为抛物线 $y ＝ a x^{2} + bx + 2 （ a \neq 0 ）$ 的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形 $BECD$ 的面积最大时，是否存在以 $A ， E ， M ， N$ 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

题型：未知
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为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对 $A$ ， $B$ 两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年 $A$ 、 $B$ 两个品种各种植了10亩．收获后 $A$ 、 $B$ 两个品种的售价均为 $2.4$ 元/kg，且 $B$ 品种的平均亩产量比A品种高100千克， $A$ 、 $B$ 两个品种全部售出后总收入为 $21600$ 元．

（1）求 $A$ 、 $B$ 两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？

（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加 $a %$ 和 $2 a %$ ．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨 $a %$ ，而A品种的售价保持不变， $A$ 、 $B$ 两个品种全部售出后总收入将增加 $\frac{20}{9} a %$ ．求a的值．

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探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数 $y = - \frac{12}{x^{2} + 2}$ 的图象并探究该函数的性质．

x	…	﹣4	﹣3	﹣2	﹣1	0	1	2	3	4	…
y	…	$- \frac{2}{3}$	a	﹣2	﹣4	b	﹣4	﹣2	$- \frac{12}{11}$	$- \frac{2}{3}$	…

（1）列表，写出表中 $a$ ， $b$ 的值： $a ＝$ 　， $b ＝$ 　　；

描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．

（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：

①函数 $y = - \frac{12}{x^{2} + 2}$ 的图象关于y轴对称；

②当 $x ＝ 0$ 时，函数 $y = - \frac{12}{x^{2} + 2}$ 有最小值，最小值为 $﹣ 6$ ；

③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．

（3）已知函数 $y = - \frac{2}{3} x - \frac{10}{3}$ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 $- \frac{12}{x^{2} + 2} < - \frac{2}{3} x - \frac{10}{3}$ 的解集．

题型：未知
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在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“好数”．

定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．

例如： $426$ 是“好数”，因为4，2，6都不为0，且 $4 + 2 ＝ 6$ ，6能被6整除；

643不是“好数”，因为 $6 + 4 ＝ 10$ ，10不能被3整除．

（1）判断 $312$ ， $675$ 是否是“好数”？并说明理由；

（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．

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