：.(1)若求的单调区间及的最小值;(2)若,求的单调区间;

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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：.
(1)若求的单调区间及的最小值;
(2)若,求的单调区间;
(3)试比较与的大小.,并证明你的结论.

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设函数 $f (x) = a x - (1 + a^{2}) x^{2}$ ，其中 $a > 0$ ，区间 $I = {x | f (x) > 0}$ .
（Ⅰ）求 $I$ 的长度（注：区间 $(α, β)$ 的长度定义为 $β - α$ ；
（Ⅱ）给定常数 $k \in (0, 1)$ ，当 $1 - k \leq a \leq 1 + k$ 时，求 $I$ 长度的最小值.

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设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{2} + a_{4} = 8$ ,且对任意 $n \in N^{*}$ ，函数 $f (x) = (a_{n} - a_{n + 1} + a_{n + 2}) x + a_{n + 1} \cdot \cos x - a_{n + 2} \cdot \sin x$ 满足 $f ` (\frac{π}{2}) = 0$

(Ⅰ)求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）若 $b_{n} = 2 (a_{n} + \frac{1}{2^{a_{n}}})$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

题型：未知
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如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的菱形， $∠ A B C = 60 °$ .已知 $P B = P D = 2, P A = \sqrt{6}$  .

（Ⅰ）证明： $P C ⊥ B D$

（Ⅱ）若 $E$ 为 $P A$ 的中点，求三菱锥 $P - B C E$ 的体积.

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为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：

（Ⅰ）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；
（Ⅱ）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 $x_{1}, x_{2}$ ，估计 $x_{1} - x_{2}$ 的值.

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设函数 $f (x) = \sin x + \sin (x + \frac{π}{3})$ .
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小值，并求使 $f (x)$ 取得最小值的的集合；
（Ⅱ）不画图，说明函数 $y = f (x)$ 的图像可由 $y = \sin x$ 的图象经过怎样的变化得到.

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