.(本小题满分14分）如图7，在直三棱柱中，，分别是的中点，

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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.(本小题满分14分）
如图7，在直三棱柱中，，分别是的中点，是的中点.
(1)求证:;(2)求三棱锥的体积;(3)求二面角的余弦值.

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设函数 $f (x) = (x - a) 2 \ln x, a \in R$

（1）若 $x = e$ 为 $y = f (x)$ 的极值点，求实数 $a$ ；
（2）求实数 $a$ 的取值范围，使得对任意的 $x \in (0, 3 e]$ ，恒有 $f (x) \leq 4 e 2$ 成立．注：e为自然对数的底数．

题型：未知
难度：未知

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已知抛物线 $C_{1}$ ： $x^{2} = y$ ，圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 圆心为点 $M$

（1）求点 $M$ 到抛物线 $C_{1}$ 的准线的距离；
（2）已知点 $P$ 是抛物线 $C_{1}$ 上一点（异于原点），过点 $P$ 作圆 $C_{2}$ 的两条切线，交抛物线 $C_{1}$ 于 $A, B$ 两点，若过 $M, P$ 两点的直线 $l$ 垂直于 $A B$ ，求直线 $l$ 的方程．

题型：未知
难度：未知

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如图,在三棱锥 $P - A B C$ 中, $A B = A C, D$ 为 $B C$ 的中点, $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ,垂足 $O$ 落在线段 $A D$ 上,已知 $B C = 8, P O = 4, A O = 3, O D = 2$

（1）证明: $A P ⊥ B C$ ；

（2）在线段 $A P$ 上是否存在点 $M$ ,使得二面角 $A - M C - β$ 为直二面角？若存在,求出 $A M$ 的长;若不存在,请说明理由．

题型：未知
难度：未知

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已知公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1}$ 为 $a (a \in R)$ 设数列的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $\frac{1}{a_{1}}, \frac{1}{a_{2}}, \frac{1}{a_{4}}$ 成等比数列．
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及 $S_{n}$ ；
（2）记 $A_{n} = \frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \frac{1}{S_{3}} + \dots + \frac{1}{S_{n}}$ ， $B_{n} = \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{2^{n - 1}}}$ ，当 $n \geq 2$ 时，试比较 $A_{n}$ 与 $B_{n}$ 的大小．

题型：未知
难度：未知

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在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C,$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $\sin A + \sin C = p \sin B （ p \in R ）$ ,且 $a c = \frac{1}{4} b^{2}$ ．
（1）当 $p = \frac{5}{4} ， b = 1$ 时，求 $a, c$ 的值；
（2）若角 $B$ 为锐角，求 $p$ 的取值范围．

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