求与圆：1外切，且与圆：81内切的动圆圆心P的轨迹方程

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
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求与圆：+=1外切，且与圆：+=81内切的动圆圆心P的轨迹方程

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已知 $x, y \in R$ ,向量 $α = [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}]$ 是矩阵 $A = [\begin{matrix} x & 1 \\ y & 0 \end{matrix}]$ 的属性特征值 $- 2$ 的一个特征向量,求矩阵 $A$ 以及它的另一个特征值.

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如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $△ A B C$ 的外接圆圆 $O$ 的弦 $A E$ 交 $B C$ 于点D.

求证： $△ A B D$ $~$ $△ A E B$ .

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设 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 是各项为正数且公差为d $(d \neq 0)$ 的等差数列
（1）证明： $2^{a_{1}}, 2^{a_{2}}, 2^{a_{3}}, 2^{a_{4}}$ 依次成等比数列；
（2）是否存在 $a_{1}, d$ ，使得 $a_{1}, {a_{2}}^{2}, {a_{3}}^{3}, {a_{4}}^{4}$ 依次成等比数列，并说明理由；
（3）是否存在 $a_{1}, d$ 及正整数，使得 ${a_{1}}^{n}, {a_{2}}^{n + k}, a_{3} n + 2 k, {a_{4}}^{n + 3 k}$ 依次成等比数列，并说明理由.

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已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b (a, b \in R)$ .
（1）试讨论 $f (x)$ 的单调性；
（2）若 $b = c - a$ （实数 $c$ 是 $a$ 与无关的常数），当函数 $f (x)$ 有三个不同的零点时， $a$ 的取值范围恰好是 $(- \infty, - 3) \cup (1, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$ ，求 $c$ 的值.

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如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且右焦点 $F$ 到左准线l的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）过 $F$ 的直线与椭圆交于 $A, B$ 两点，线段 $A B$ 的垂直平分线分别交直线 $l$ 和 $A B$ 于点 $P, C$ ，若 $P C = 2 A B$ ，求直线 $A B$ 的方程.

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