（共7分）
小江计划将鱼在年底打捞出来运往某地出售，为了预订车辆运输，必须知道鱼塘内共有多少千克的鱼，他第一次从鱼塘中打捞出100条鱼，共240kg，作上记号后，又放回鱼塘.过了两天，又捞出200条鱼，共510kg，且发现其中有记号的鱼只有4条.
(1)估计鱼塘中总共有多少条鱼？
(2)若平均每千克鱼可获利润5元，预计小江今年卖鱼总利润约多少钱？
问题探究：
小红遇到这样一个问题：如图1， 中， ， ， 是中线，求 的取值范围．她的做法是：延长 到 ，使 ，连接 ，证明 ，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：（1）小红证明 的判定定理是： ；
（2） 的取值范围是 ；
方法运用：
（3）如图2， 是 的中线，在 上取一点 ，连结 并延长交 于点 ，使 ，求证： ．
（4）如图3，在矩形 中， ，在 上取一点 ，以 为斜边作 ，且 ，点 是 的中点，连接 ， ，求证： ．
小刚去超市购买画笔，第一次花60元买了若干支 型画笔，第二次超市推荐了 型画笔，但 型画笔比 型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的 型画笔．
（1）超市 型画笔单价多少元？
（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用 型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过20支，则每支 型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折．设小刚购买的 型画笔 支，购买费用为 元，请写出 关于 的函数关系式．
（3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买 型画笔，则能购买多少支 型画笔？
如图，点 在以 为直径的 上，点 是半圆 的中点，连接 ， ， ， ．过点 作 交 的延长线于点 ．
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）若 ， ，求 ， 的长．
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