（本小题满分12分）已知的三内角A，B，C所对三边分别为a，

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题满分12分）
已知的三内角A，B，C所对三边分别为a，b，c，且
（I）求的值。
（II）若的面积求a的值。

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数列 $\{a_{n}\}$ 中, $a_{1} = \frac{1}{3}$ ，前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n + 1} - S_{n} = {(\frac{1}{3})}^{n + 1} (n \in N^{*})$ .

(I)求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}$ 以及前 $n$ 项和 $S_{n}$ .
(II)若 $S_{1}, t (S_{1} + S_{2}), 3 (S_{2} + S_{3})$ 成等差数列，求实数 $t$ 的值.

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（Ⅰ）证明 $a_{4}, a_{5}, a_{6}$ 成等比数列；
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（Ⅲ）记 $T_{n} = \frac{2^{2}}{a_{2}} + \frac{3^{2}}{a_{3}} + \dots + \frac{n^{2}}{a_{n}}$ ，证明 $\frac{3}{2} < 2 n - T_{n} \leq 2 (n \geq 2)$ .

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已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线 $l$ 与椭圆相交于不同的两点 $A$ 、 $B$ ，已知点 $A$ 的坐标为 $(- a, 0)$ .
（i）若 $|A B| = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ，求直线 $l$ 的倾斜角；
（ii）若点 $Q (0, y_{0})$ 在线段 $A B$ 的垂直平分线上，且 $\overset{⇀}{Q A} = \overset{⇀}{Q B} = 4$ .求 $y_{0}$ 的值.

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（Ⅰ）若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ 上， $f (x) > 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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如图，在五面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A D E F$ 是正方形， $F A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $B C ∥ A D$ ， $C D = 1$ ， $A D = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ B A D = ∠ C D A = 45 °$ .

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（Ⅲ）求二面角 $B - E F - A$ 的正切值。

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