(本题满分10分)如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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(本题满分10分)如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC∶CA＝4∶3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点

(1)求证：AC·CD＝PC·BC；
(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；
(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．

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如图，二次函数 $y = x^{2} - 3 x$ 的图象经过 $O (0, 0)$ ， $A (4, 4)$ ， $B (3, 0)$ 三点，以点 $O$ 为位似中心，在 $y$ 轴的右侧将 $ΔOAB$ 按相似比 $2 : 1$ 放大，得到△ $OA' B'$ ，二次函数 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的图象经过 $O$ ， $A'$ ， $B'$ 三点．

（1）画出△ $OA' B'$ ，试求二次函数 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的表达式；

（2）点 $P (m, n)$ 在二次函数 $y = x^{2} - 3 x$ 的图象上， $m \neq 0$ ，直线 $OP$ 与二次函数 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的图象交于点 $Q$ （异于点 $O)$ ．

①求点 $Q$ 的坐标（横、纵坐标均用含 $m$ 的代数式表示）

②连接 $AP$ ，若 $2 AP > OQ$ ，求 $m$ 的取值范围；

③当点 $Q$ 在第一象限内，过点 $Q$ 作 $QQ'$ 平行于 $x$ 轴，与二次函数 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的图象交于另一点 $Q'$ ，与二次函数 $y = x^{2} - 3 x$ 的图象交于点 $M$ ， $N (M$ 在 $N$ 的左侧），直线 $OQ'$ 与二次函数 $y = x^{2} - 3 x$ 的图象交于点 $P'$ ．△ $Q' P' M ∽$ △ $QB' N$ ，则线段 $NQ$ 的长度等于　．

题型：未知
难度：未知

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（1）如图1，将矩形 $ABCD$ 折叠，使 $BC$ 落在对角线 $BD$ 上，折痕为 $BE$ ，点 $C$ 落在点 $C'$ 处，若 $∠ ADB = 46 °$ ，则 $∠ DBE$ 的度数为　　 $°$ ．

（2）小明手中有一张矩形纸片 $ABCD$ ， $AB = 4$ ， $AD = 9$ ．

【画一画】

如图2，点 $E$ 在这张矩形纸片的边 $AD$ 上，将纸片折叠，使 $AB$ 落在 $CE$ 所在直线上，折痕设为 $MN$ （点 $M$ ， $N$ 分别在边 $AD$ ， $BC$ 上），利用直尺和圆规画出折痕 $MN$ （不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；

【算一算】

如图3，点 $F$ 在这张矩形纸片的边 $BC$ 上，将纸片折叠，使 $FB$ 落在射线 $FD$ 上，折痕为 $GF$ ，点 $A$ ， $B$ 分别落在点 $A'$ ， $B'$ 处，若 $AG = \frac{7}{3}$ ，求 $B' D$ 的长；

【验一验】

如图4，点 $K$ 在这张矩形纸片的边 $AD$ 上， $DK = 3$ ，将纸片折叠，使 $AB$ 落在 $CK$ 所在直线上，折痕为 $HI$ ，点 $A$ ， $B$ 分别落在点 $A'$ ， $B'$ 处，小明认为 $B' I$ 所在直线恰好经过点 $D$ ，他的判断是否正确，请说明理由．

题型：未知
难度：未知

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如图1，平行四边形 $ABCD$ 中， $AB ⊥ AC$ ， $AB = 6$ ， $AD = 10$ ，点 $P$ 在边 $AD$ 上运动，以 $P$ 为圆心， $PA$ 为半径的 $⊙ P$ 与对角线 $AC$ 交于 $A$ ， $E$ 两点．

（1）如图2，当 $⊙ P$ 与边 $CD$ 相切于点 $F$ 时，求 $AP$ 的长；

（2）不难发现，当 $⊙ P$ 与边 $CD$ 相切时， $⊙ P$ 与平行四边形 $ABCD$ 的边有三个公共点，随着 $AP$ 的变化， $⊙ P$ 与平行四边形 $ABCD$ 的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的 $AP$ 的值的取值范围　　．

题型：未知
难度：未知

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如图，一次函数 $y = kx + b (k \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $A (- 9, 0)$ ， $B (0, 6)$ 两点，过点 $C (2, 0)$ 作直线 $l$ 与 $BC$ 垂直，点 $E$ 在直线 $l$ 位于 $x$ 轴上方的部分．

（1）求一次函数 $y = kx + b (k \neq 0)$ 的表达式；

（2）若 $ΔACE$ 的面积为11，求点 $E$ 的坐标；

（3）当 $∠ CBE = ∠ ABO$ 时，点 $E$ 的坐标为　 $(11, 3)$ 　．

题型：未知
难度：未知

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如图，校园内有两幢高度相同的教学楼 $AB$ ， $CD$ ，大楼的底部 $B$ ， $D$ 在同一平面上，两幢楼之间的距离 $BD$ 长为24米，小明在点 $E (B$ ， $E$ ， $D$ 在一条直线上）处测得教学楼 $AB$ 顶部的仰角为 $45 °$ ，然后沿 $EB$ 方向前进8米到达点 $G$ 处，测得教学楼 $CD$ 顶部的仰角为 $30 °$ ．已知小明的两个观测点 $F$ ， $H$ 距离地面的高度均为1.6米，求教学楼 $AB$ 的高度 $AB$ 长．（精确到0.1米）参考值： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ．

题型：未知
难度：未知

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