如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°.BC=CC1=a,AC=2a. (I)求证:AB1⊥BC1; (II)求二面角B—AB1—C的大小; (III)求点A1到平面AB1C的距离.
(本小题满分12分)在中,角所对的边分别为,满足,且.(1)求C的大小;(2)求的最大值,并求取得最大值时角A,B的值.
(本小题满分12分)退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成,从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁(含20岁和80岁)之间的600人进行调查,并按年龄层次[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]绘制频率分布直方图,如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”,[40,60)为“中年人”, [60,80]为“老年人”.
(1)若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替,试估算所调查的600人的平均年龄;(2)将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率.从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人,记抽到“老年人”的人数为,求随机变量的分布列和数学期望.
(本小题满分14分)已知椭圆的右焦点为,且点在椭圆上,为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、,且为锐角,求直线的斜率的取值范围;(Ⅲ)过椭圆上异于其顶点的任一点,作圆的两条切线,切点分别为(不在坐标轴上),若直线在轴、轴上的截距分别为、,证明:为定值.
(本小题满分14分)已知函数,(其中常数)(Ⅰ)当时,求的极大值;(Ⅱ)试讨论在区间上的单调性;(Ⅲ)当时,曲线上总存在相异两点、,使得曲线在点、处的切线互相平行,求的取值范围.
如图所示,矩形中,,,,且,交于点。(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求三棱锥的体积.