等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列,，且．（Ⅰ）

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列, ，且．
（Ⅰ）求与；
（Ⅱ）求数列的前项和。

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如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ .四边形 $A B C D$ 为梯形， $A D ∥ B C$ ,且 $A D = 2 B C$ .过 $A_{1}, C, D$ 三点的平面记为，与 $α$ 的交点为 $Q$ .
（1）证明： $Q$ 为 $B B_{1}$ 的中点；
（2）求此四棱柱被平面 $α$ 所分成上下两部分的体积之比；
（3）若 $A_{1} A = 4, C D = 2$ ，梯形 $A B C D$ 的面积为6，求平面 $α$ 与底面 $A B C D$ 所成二面角大小.

题型：未知
难度：未知

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如图，已知两条抛物线 $E_{1} : y^{2} = 2 p_{1} x (p_{1} > 0)$ 和 $E_{2} : y^{2} = 2 p_{2} x (p_{2} > 0)$ ，过原点 $O$ 的两条直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ， $l_{1}$ 与 $E_{1}, E_{2}$ 分别交于 $A_{1}, A_{2}$ 两点， $l_{2}$ 与 $E_{1}, E_{2}$ 分别交于 $B_{1}, B_{2}$ 两点.
（1）证明： $A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2}$

（2）过原点 $O$ 的直线 $l$ （异于 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ）与 $E_{1}, E_{2}$ 分别交于 $C_{1}, C_{2}$ 两点.记 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 的面积分别为 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ ,求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值.

题型：未知
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设函数 $f (x) = 1 + (1 + a) x - x^{2} - x^{3}$ ,其中 $a > 0$ .
（1）讨论 $f (x)$ 在其定义域上的单调性；
（2）当 $x \in [0.1]$ 时，求 $f (x)$ 取得最大值和最小值时的的值.

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甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，各局比赛结果相互独立.
(1)求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
(2)记 $X$ 为比赛决出胜负时的总局数，求 $X$ 的分布列和均值（数学期望）.

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设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对边的长分别是 $a, b, c$ ，且 $b = 3, c = 1, A = 2 B$

（1）求 $a$ 的值；
（2）求 $\sin (A + \frac{π}{4})$ 的值.

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