如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,, 底面,且,分别为、的中点。(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值。
某企业接到生产3000台某产品的 A , B , C 三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产 A 部件6件,或 B 部件3件,或 C 部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产 B 部件的人数与生产 A 部件的人数成正比,比例系数为 k ( k 为正整数). (1)设生产 A 部件的人数为 x ,分别写出完成 A , B , C 三种部件生产需要的时间; (2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数 k 的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.
已知数列 a n 的各项均为正数,记 A n = a 1 + a 2 + a 3 + . . . + a n , B n = a 2 + a 3 + . . . + a n + 1 , C n = a 3 + a 4 + . . . + a n + 2 , n = 1 , 2 , …… (1)若 a 1 = 1 , a 2 = 5 ,且对任意 n ∈ N ﹡,三个数 A n , B n , C n 组成等差数列,求数列 a n 的通项公式. (2)证明:数列 a n 是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意 n ∈ N + ,三个数 A n , B n , C n 组成公比为 q 的等比数列.
如图,在四棱锥 P - A B C D 中, P A ⊥ 平面 A B C D , A B =4, B C =3, A D =5, ∠ D A B = ∠ A B C =90°, E 是 C D 的中点.
(Ⅰ)证明: C D ⊥ 平面 P A E ; (Ⅱ)若直线 P B 与平面 P A E 所成的角和 P B 与平面 A B C D 所成的角相等,求四棱锥 P - A B C D 的体积.
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%. (Ⅰ)确定 x , y 的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望; (Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.(注:将频率视为概率)
对于项数为m的有穷数列数集 { a n } ,记 b k = m a x { a 1 , a 2 , . . . , a k } ( k = 1 , 2 , . . . , m ),即 b k 为 a 1 , a 2 , . . . , a k 中的最大值,并称数列 { b n } 是 { a n } 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5. (1)若各项均为正整数的数列 { a n } 的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的 { a n } ; (2)设 { b n } 是 { a n } 的控制数列,满足 a k + b m - k + 1 = C ( C 为常数, k = 1 , 2 , . . . , m ).求证: b k = a k ( k = 1 , 2 , . . . , m ); (3)设 m = 100 ,常数 a ∈ ( 1 2 , 1 ) .若 a n = a n 2 - ( - 1 ) n ( n + 1 ) 2 n , { b n } 是 { a n } 的控制数列,求 ( b 1 - a 1 ) + ( b 2 - a 2 ) + . . . + ( b 100 - a 100 ) .