（本小题满分13分）过椭圆内一点M(1，1)的弦AB(1）若

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题满分13分）
过椭圆内一点M(1，1)的弦AB
(1）若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程；
（2）求过点M的弦的中点的轨迹方程。

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$△ A B C$ 的三个内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a \sin A \sin B + b \cos^{2} A = \sqrt{2} a$ .

(1)求 $\frac{b}{a}$

(2)若 $C^{2} = b^{2} + \sqrt{3} a^{2}$ ,求 $B$ .

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已知函数 $f (x) = |x - 2| - |x - 5|$ .
（I）证明： $- 3 \leq f (x) \leq 3$ ；
（II）求不等式 $f (x) \geq x^{2} - 8 x + 15$ 的解集.

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在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\{\begin{cases} x = \cos φ \\ y = \sin φ \end{cases}$ （ $φ$ 为参数）曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 $\{\begin{cases} x = a c o s φ \\ y = b s i n φ \end{cases}$ （ $a > b > 0$ ， $φ$ 为参数）在以 $0$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 $l$ ： $θ = α$ 与 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 各有一个交点.当 $α = 0$ 时，这两个交点间的距离为 $2$ ，当 $α = \frac{π}{2}$ 时，这两个交点重合.

（1）分别说明 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 是什么曲线，并求出 $a$ 与 $b$ 的值；
（2）设当 $α = \frac{π}{4}$ 时， $l$ 与 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的交点分别为 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ,当 $α = - \frac{π}{4}$ 时， $l$ 与 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的交点为 $A_{2}$ ， $B_{2}$ ，求四边形 $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ 的面积.

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已知函数 $f (x) = \ln x - a x^{2} + (2 - a) x$ ．
（I）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（II）设 $a > 0$ ，证明：当 $0 < x < \frac{1}{a}$ 时， $f (\frac{1}{a} + x) > f (\frac{1}{a} - x)$ ；
（III）若函数的图像与x轴交于 $A, B$ 两点，线段 $A B$ 中点的横坐标为 $x_{0}$ ，
证明： $f ` (x_{0}) < 0$

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如图，已知椭圆 $C_{1}$ 的中心在原点 $O$ ，长轴左、右端点 $M, N$ 在 $x$ 轴上，椭圆 $C_{2}$ 的短轴为 $M N$ ，且 $C_{1}, C_{2}$ 的离心率都为 $e$ ，直线 $l ⊥ M N$ ， $l 与 C_{1}$ 交于两点，与 $C_{2}$ 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 $A, B, C, D$ .

（1）设 $e = \frac{1}{2}$ ，求 $|B C|$ 与 $|A D|$ 的比值；
（2）当 $e$ 变化时，是否存在直线 $l$ ，使得 $B O ∥ A N$ ，并说明理由.

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