已知各项均为正数的数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和满足 $S_1>1$,且 $6S_n=\left(a_n+1\right)\left(a_n+2\right),n\in N^{*}$.

（1）求 $\left\{a_n\right\}$的通项公式;
（2）设数列 $\left\{b_n\right\}$满足 $a_n\left(2^{b_n}-1\right)=1$,并记 $T_n$为 $\left\{b_n\right\}$的前 $n$项和,求证: $3T_n+1>{\log }_2\left(a_n+3\right),n\in N^{*}$.