已知数列{an}中的相邻两项a2k1a2k,是关于的方程x2

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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已知数列 ${a_{n}}$ 中的相邻两项 $a_{2 k - 1}$ $a_{2 k}$ ,是关于的方程 $x^{2} - (3 k + 2^{k}) x + 3 k \cdot 2^{k} = 0$ 的两个根，且 $a_{2 k - 1} \leq a_{2 k} (k = 1, 2, 3, . . .)$ .

（I）求 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{5}$ ， $a_{7}$ ；
（II）求数列 ${a_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$ ；
（Ⅲ）记 $f (n) = \frac{1}{2} (\frac{| \sin n |}{\sin n} + 3)$ ， $T_{n} = \frac{(- 1)^{f (2)}}{a_{1} a_{2}} + \frac{(- 1)^{f (3)}}{a_{3} a_{4}} + \frac{(- 1)^{f (4)}}{a_{5} a_{6}} + . . . + \frac{(- 1)^{f (n + 1)}}{a_{2 n - 1} a_{2 n}}$ ，

求证： $\frac{1}{6} \leq T_{n} \leq \frac{5}{24} (n \in N^{*})$ ．

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（本小题满分12分）
某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用
品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

X	1	2	3	4	5
频率	a	0.2	0.4	b	c

（I）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，
求a，b，c的值；
(Ⅱ)在（I）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x₁，x₂，x₃，等级系数为5的2件
日用品记为y₁，y₂，现从x₁，x₂，x₃，y₁，y₂这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出
的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率