如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划

如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为 $2 r$ ，短半轴长为 $r$ ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底 $A B$ 是半椭圆的短轴，上底 $C D$ 的端点在椭圆上，记 $C D = 2 x$ ，梯形面积为 $S$ ．

（I）求面积 $S$ 以 $x$ 为自变量的函数式，并写出其定义域；
（II）求面积 $S$ 的最大值．

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（本小题满分14分）已知数列的前项和为，数列是等差数列且有．
（Ⅰ）分别求数列，的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．

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（本小题满分14分）如图，四棱锥中，平面，底面是直角梯形，为中点．

（Ⅰ）求证：//平面；
（Ⅱ）若为线段的中点，求证：平面．

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（本小题满分12分）甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区一模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩（发现两校学生的数学成绩都不低于70分），并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在内为优秀，甲校：

分组
频数	2	3	10	15	15		3	1

乙校：

分组
频数	1	2	9	8	10	10		3

（Ⅰ）计算的值；
（Ⅱ）由以上统计数据填写下面列联表，若按是否优秀来判断，是否有97．5% 的把握认为两个学校的数学成绩有差异．

附：

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（本小题满分12分）已知向量
，函数．
（Ⅰ）求函数的最大值及取得最大值时相应的的集合；
（Ⅱ）在中，角的对边分别是，且满足，求的面积．

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（本小题满分14分）已知椭圆：（）的离心率为，且过点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交于两点，当的面积最大时，求直线的方程；
（Ⅲ）若动直线过且与椭圆交于两个不同点，在线段上取点，满足，试证明点恒在一定直线上．

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