如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为 $2r$ ，短半轴长为 $r$ ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底 $AB$ 是半椭圆的短轴，上底 $CD$ 的端点在椭圆上，记 $CD=2x$ ，梯形面积为 $S$ ．

（I）求面积 $S$ 以 $x$ 为自变量的函数式，并写出其定义域；
（II）求面积 $S$ 的最大值．