已知函数 $f\left(x\right)=x^{2t}-2t(x^2+x)+x^2+2t^2+1$， $g\left(x\right)=\frac{1}{2}f\left(x\right)$．
（I）证明：当 $t<2\sqrt{2}$时， $g\left(x\right)$在 $R$上是增函数；
（II）对于给定的闭区间 $[a,b]$，试说明存在实数 $k$，当 $t>k$时， $g\left(x\right)$在闭区间 $[a,b]$上是减函数；
（III）证明： $f\left(x\right)\ge \frac{3}{2}$．