已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y22x上，其中O为坐_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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已知正三角形 $O A B$ 的三个顶点都在抛物线 $y^{2} = 2 x$ 上，其中 $O$ 为坐标原点，设圆 $C$ 是 $O A B$ 的内接圆（点 $C$ 为圆心）
（I）求圆 $C$ 的方程；
（II）设圆 $M$ 的方程为 ${(x - 4 - 7 \cos θ)}^{2} + {(y - 7 \cos θ)}^{2} = 1$ ，过圆 $M$ 上任意一点 $P$ 分别作圆 $C$ 的两条切线 $P E, P F$ ，切点为 $E, F$ ，求 $\overset{⇀}{C E}, \overset{⇀}{C F}$ 的最大值和最小值．

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如下图，已知正方体 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为２，点Ｅ是正方形 $BC C_{1} B_{1}$ 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱 $C_{1} D_{1}, A A_{1}$ 的中点．设点 $E_{1}, G_{1}$ 分别是点Ｅ，Ｇ在平面 $DC C_{1} D_{1}$ 内的正投影．

（１）求以Ｅ为顶点，以四边形 $FGAE$ 在平面 $DC C_{1} D_{1}$ 内的正投影为底面边界的棱锥的体积；

（２）证明：直线 $F G_{1} ⊥ 平面 FE E_{1}$ ；

（３）求异面直线 $E_{1} G_{1} 与 EA$ 所成角的正弦值.

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（1）求直方图中 $x$ 的值；

（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；

（3）求该城市某一周至少有 2天的空气质量为良或轻微污染的概率.

(结果用分数表示．已知 $5^{7} = 78125, 2^{7} = 128, \frac{3}{1825} + \frac{2}{365} + \frac{7}{1825} + \frac{3}{1825} + \frac{8}{9125} = \frac{123}{9125}, 365 = 73 \times 5$ ）

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（Ⅰ）求 p于 m的值；

（Ⅱ）设抛物线C上一点 p的横坐标为 t（ t>0）,过 p的直线交C于另一点 Q，交 x轴于 M点，过点 Q作 PQ的垂线交 C于另一点 N.若 MN是 C的切线，求 t的最小值;

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