如图,函数 $y=2\cos \left(\omega x+\theta \right)\left(x\in R,0\le \theta \le \frac{\pi }{2}\right)$ 的图象与 $y$ 轴交于点( $0,\sqrt{3}$ )，且在该点处切线的斜率为 $-2$ ．
（1）求 $\theta$ 和 $\omega$ 的值；
（2）已知点 $A\left(\frac{\pi }{2},0\right)$ ，点 $P$ 是该函数图象上一点，点 $Q\left(x_0,y_0\right)$ 是 $PA$ 的中点，当 $y_0=\frac{\sqrt{3}}{2},x_0\in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$ 时，求 $x_0$ 的值．