如图,面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M,可按下面方法估计M的面积:在正方形ABCD中随机投掷n个点,若n个点中有m个点落入M中,则M的面积的估计值为 m n S . 假设正方形ABCD的边长为2,M的面积为1,并向正方形ABCD中随机投掷10 000个点,以X表示落入M中的点的数目. (Ⅰ)求X的均值EX; (Ⅱ)求用以上方法估计M的面积时,M的面积的估计值与实际值之差在区间(-0.03,0.03)内的概率. 附表: P ( k ) = ∑ i = 0 λ C 10000 1 × 0 . 25 λ × 0 . 75 10000 - i
(本小题满分14分) 设动圆过点,且与定圆内切,动圆圆心的轨迹记为曲线,点的坐标为. (1)求曲线的方程; (2)若点为曲线上任意一点,求点和点的距离的最大值; (3)当时,在(2)的条件下,设是坐标原点,是曲线上横坐标为的点,记△的面积为,以为边长的正方形的面积为.若正数满足,问是否存在最小值?若存在,求出此最小值;若不存在,请说明理由.
(本小题满分14分) 已知函数,为实数)有极值,且在处的切线与直线平行. (1)求实数a的取值范围; (2)设,的导数为,令 求证:.
(本小题满分14分) 设等差数列前项和为,则有以下性质:成等差数列. (1) 类比等差数列的上述性质,写出等比数列前项积的类似性质; (2) 证明(1)中所得结论.
(本小题满分14分) 如图,已知AB⊥平面ACD,DE//AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F 是CD的中点. (1)求证:AF平面CDE; (2)求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小.
(本小题满分12分) 第16届亚运会将于今年11月在我市举行,射击队运动员们正在积极备战. 若某运动员每次射击成绩为10环的概率为. 求该运动员在5次射击中, (1)恰有3次射击成绩为10环的概率; (2)至少有3次射击成绩为10环的概率; (3)射击成绩为10环的均值(数学期望). (结果用分数表示)