甲乙两位同学参加数学竞赛培训。现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85(1)用茎叶图表示这两组数据;(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由;(3)若将频率视为概率,对甲同学在今后的3次数学竞赛成绩进行预测,记这3次成绩中高于80分的次数为X,求X的分布列及数学期望。
已知正方体的棱长为. (1)求异面直线与所成角的大小; (2)求四棱锥的体积.
设是数列的前项和,对任意都有成立, (其中、、是常数). (1)当,,时,求; (2)当,,时, ①若,,求数列的通项公式; ②设数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“数列”. 如果,试问:是否存在数列为“数列”,使得对任意,都有,且.若存在,求数列的首项的所 有取值构成的集合;若不存在,说明理由.
已知椭圆:. (1)椭圆的短轴端点分别为(如图),直线分别与椭圆交于两点,其中点满足,且. ①证明直线与轴交点的位置与无关; ②若∆面积是∆面积的5倍,求的值; (2)若圆:.是过点的两条互相垂直的直线,其中交圆于、两点,交椭圆于另一点.求面积取最大值时直线的方程.
某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域)”,其中、是过抛物线焦点的两条弦,且其焦点,,点为轴上一点,记,其中为锐角. (1)求抛物线方程; (2)如果使“蝴蝶形图案”的面积最小,求的大小?
已知向量,,其中.函数在区间上有最大值为4,设. (1)求实数的值; (2)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.