（本小题满分12分）
设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率是0.5，购买乙种商品的概率是0.6，且购买甲种商品和购买乙种商品是相互独立的，各顾客之间购买商品也是互相独立的.
（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率.
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设数列
的前
项和为
，对任意的正整数，都有
成立，记
。
（I）求数列与数列
的通项公式；
（II）设数列的前项和为
，是否存在正整数
，使得
成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；
（III）记
，设数列
的前项和为
，求证：对任意正整数都有
；
如图，椭圆
与一等轴双曲线相交，
是其中一个交点，并且双曲线的顶点是该椭圆的焦点
，双曲线的焦点是椭圆的顶点
，
的周长为
.设
为该双曲线上异于顶点的任一点，直线
和
与椭圆的交点分别为
和
.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线、的斜率分别为
、
，证明
；
（Ⅲ）是否存在常数
，使得
恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
已知函数
，
，其中
．
（I）设函数
．若
在区间
上不单调，求
的取值范围；
（II）设函数
是否存在，对任意给定的非零实数
，存在惟一的非零实数
（
），使得
成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
的通项公式； 
，求数列
，
，记
，设数列
的前
项和为
，求证：对任意正整数
；
中，
底面
，点
，
分别在棱
上，且
（Ⅰ）求证：
平面
；
的中点时，求
与平面
为直二面角？并说明理由.
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